확률과 통계 | 평균(mean), 중앙값(median), 절사평균(trimmed mean) 쉽게 이해하기

 

 

평균(mean)과 중앙값(median)은 데이터가 어디쯤 중심을 이루는지 보여주는 수치이다. 이번 글에서는 이 두 가지 중심 위치 척도뿐만 아니라, 극단값(outlier)에 대한 민감도, 그리고 이를 보완해주는 절사 평균(trimmed mean)까지 함께 살펴본다.

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평균값(mean)과 중앙값(median)

• 평균 (Mean): 모든 값을 더해 개수로 나눈 값. 
• 중앙값 (Median): 데이터를 정렬했을 때 정확히 가운데에 위치한 값.

둘 다 데이터의 중심을 나타내지만, 데이터 분포가 비대칭이거나 극단값(outlier)이 존재할 경우 서로 다른 이야기를 한다.

 

그리고 실제 통계 분석에서는 전체 모집단의 데이터를 알 수 없는 경우가 많기 때문에 표본(sample)을 사용한다. 이때 나오는 개념은 표본 평균(sample mean)과 표본 중앙값(sample median)이다.

• 표본 평균 (Sample Mean, x̄): 표본의 모든 값을 더한 후 표본 개수로 나눈 값

• 표본 중앙값 (Sample Median): 표본을 정렬했을 때 가운데 위치한 값 (~ 표시를 사용함)

이 값들은 각각 모집단 평균(Population Mean, μ, 뮤)과 모집단 중앙값(Population Median)의 추정값 역할을 하며, 실제 데이터 분석에서 모집단의 중심 위치를 추정하는 데 핵심적인 역할을 한다.

 

극단값(outlier)에 대한 민감도

평균은 모든 값을 반영하는 계산 방식이기 때문에 극단값의 영향을 크게 받는다.

위의 데이터를 보면 95는 명백한 극단값임을 알 수 있다. 이 값을 포함한 평균값은 67이다. 이 극단값을 제외하고 평균값을 계산하면 65.7이 된다, 이로 인해 극단값 하나가 평균을 1.3만큼 끌어올렸다는 사실을 알 수 있다. 이처럼 평균은 전체적인 경향을 보여주는 데 유용하지만, 데이터에 outlier가 있을 경우 중심 위치를 왜곡할 위험이 크다. 

 

반면, 중앙값은 데이터의 크기 순서에서 ‘위치’만 고려하기 때문에, 크기가 극단적으로 큰 값이 포함되더라도 중앙값 자체는 흔들리지 않는다. 즉, 중앙값은 데이터가 비대칭이거나 이상값이 포함되어 있을 때에도 안정적인 중심값으로 사용될 수 있다. 그래서 극단값의 영향을 최소화하고 싶을 때는 중앙값이 평균보다 더 신뢰할 수 있는 선택이 된다.

 

모집단 분포의 세 가지 형태와 평균·중앙값의 관계

데이터가 어떤 분포를 따르는지에 따라 평균과 중앙값의 상대적 위치가 달라진다.

a. 왼쪽으로 치우친 분포 (Left-skewed Distribution)

• 예: 시험에서 대부분이 높은 점수를 받았을 때
• 모집단 평균 < 모집단 중앙값
• 극단적으로 작은 값이 존재하여 평균이 왼쪽으로 끌려간다.
• 예를 들어 대부분 학생이 90점 이상인데 한두 명만 20점이라면, 평균은 낮아지지만 중앙값은 여전히 높게 유지된다.

데이터: [20, 25, 90, 91, 92, 93, 94]

• 평균 = (20 + 25 + 90 + 91 + 92 + 93 + 94) / 7 = 72.14
• 중앙값 = 91

평균은 더 많이 내려가지만, 중앙값은 소수의 outlier에 여전히 강한 모습을 보임.

b. 대칭 분포 (Symmetric Distribution)

• 예: 정규분포(normal distribution)
• 모집단 평균 ≈ 모집단 중앙값
• 데이터가 중심을 기준으로 좌우 대칭일 때, 평균과 중앙값은 거의 같은 위치에 있다.
• 정규분포에서는 평균, 중앙값, 최빈값이 모두 동일한 지점에 위치함.

데이터: [90, 91, 92, 93, 94, 95, 96]

• 평균 = (90 + 91 + 92 + 93 + 94 + 95 + 96) / 7 = 93
• 중앙값 = 93

평균과 중앙값이 같다. 

c. 오른쪽으로 치우친 분포 (Right-skewed Distribution)

• 예: 소득 분포, 부동산 가격
• 모집단 평균 > 모집단 중앙값
• 극단적으로 큰 값이 일부 존재하여 평균이 오른쪽으로 끌려간다.
• 평균이 “outlier”에 의해 더 큰 방향으로 밀리는 것을 볼 수 있다.

데이터: [40, 45, 50, 52, 53, 55, 200]

• 평균 = (40 + 45 + 50 + 52 + 53 + 55 + 200) / 7 = 70.7
• 중앙값 = 52

평균은 증가, 하지만 중앙값은 변함 없음.

 

Trimmed Mean: 평균과 중앙값 사이의 절충안

절사 평균(Trimmed Mean)은 상위/하위 극단값 일부를 제거한 후 평균을 계산한다.

예: 10% trimmed mean은 양쪽 10%씩 잘라낸 뒤 평균을 계산

• 평균보다 극단값에 덜 민감하고
• 중앙값보다 더 많은 정보를 활용함

즉, 평균과 중앙값 사이에서 균형 잡힌 위치 척도 역할을 한다.

 

만약 범주형 데이터라면?

범주형 데이터는 서로 구분되는 범주(category)로 나뉘는 데이터를 뜻한다. 예를 들어, 성별(남자/여자), 혈액형(A/B/O/AB), 좋아하는 색깔(빨강/파랑/초록) 등이 모두 범주형 데이터다. 범주형 데이터는 숫자로 된 데이터와 달리 ‘크다/작다’를 비교하는 것이 아니라, 각 범주에 속하는 데이터의 빈도 또는 비율을 분석하는 데 초점을 둔다.

 

모비율(p)과 표본 비율(𝑝̂)의 관계

범주형 데이터 분석에서는 표본 비율 𝑝̂ = x/n 이 매우 중요한 역할을 한다. 이 값은 전체 표본 중 특정 범주에 속하는 비율을 나타낸다.

 

그렇다면 모비율 p는 무엇일까?

이는 전체 모집단(population)에서 특정 범주에 속하는 비율을 의미하며, 𝑝̂와 마찬가지로 항상 0과 1 사이의 값을 가진다.

 

이 둘의 관계는 마치 다음과 같다

• 𝑝̂ ↔ p
• x̄ (표본 평균) ↔ μ (모평균)

즉, 𝑝̂는 우리가 모집단 비율 p를 추정(estimation)하기 위해 사용하는 점 추정치(point estimate)다. 

 

예를 들어, 어떤 조사에서 자동차 소유자 100명을 대상으로 “차를 5년 이상 보유한 적이 있나요?”라고 물었을 때, 22명이 “그렇다”고 응답했다면, 그에 대한 표본 비율은 𝑝̂ = 22/100 = 0.22 이다.

 

이 0.22는 모든 자동차 소유자 중 5년 이상 같은 차를 보유한 사람의 비율 p에 대한 점 추정치(point estimate)가 된다.

 

즉, 이 데이터를 통해 우리는 전체 자동차 소유자 중 약 22% 정도가 5년 이상 차를 보유했을 것이라고 추정할 수 있는 것이다. 

 

이러한 개념은 나중에 신뢰구간(confidence interval)이나 가설 검정(hypothesis test)을 수행할 때 핵심적인 기반이 된다.

 

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이번 글에서는 데이터의 중심을 이해하는 다양한 방법들을 살펴보았습니다. 하지만 중심만으로는 데이터의 전체적인 성격을 완전히 파악할 수는 없습니다. 다음 글에서는 데이터가 얼마나 흩어져 있는지, 퍼져 있는지를 알려주는 variability(산포도)에 대해 알아보겠습니다!

 

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