확률과 통계 | 표본공간, 사건, 집합 이론 이해하기

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통계를 처음 공부할 때 가장 먼저 마주치는 개념이 바로 표본공간(Sample Space)과 사건(Event)이다. 이 개념들이 잡히면 그 뒤의 확률과 통계 이론이 훨씬 더 쉽게 다가온다. 이 글에서는 이 두 개념과 그 배경이 되는 집합 이론(Set Theory)에 대해 간단하고 명확하게 정리해보겠다.

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표본공간(Sample Space)이란?

표본공간(sample space)은 어떤 확률 실험에서 가능한 모든 결과들의 집합을 말한다. 

예시 상황:

한 개의 퓨즈가 정상(Not defective, N)인지 불량(Defective, D) 인지 검사하는 실험

1. 한 개의 퓨즈 검사

• 이 실험의 결과는 두 가지 중 하나다
  • N: 정상
  • D: 불량
• 따라서 표본공간(Sample Space)는 다음과 같이 나타낼 수 있다

S = {N, D}

 

2. 세 개의 퓨즈를 차례대로 검사하는 경우

세 개의 퓨즈를 순서대로 검사하고 각각의 검사 결과를 기록한다면, 하나의 실험 결과는 N 또는 D로 이루어진 3개의 문자열이 된다.

• 가능한 모든 조합을 나열하면

S = {NNN, NND, NDN, NDD, DNN, DND, DDN, DDD}

• 이 표본공간은 길이 3의 이진 문자열(binary string)과 비슷한 구조를 가지며, 총 2^3 = 8개의 원소를 포함한다.

사건(Event)이란 무엇인가?

사건(Event)은 표본공간의 부분 집합으로, 우리가 관심을 가지는 특정한 결과들의 집합이다.

 

예시:

고속도로 출구를 나오는 세 대의 차량이 각각 출구 끝에서 좌회전(Left, L) 또는 우회전(Right, R)을 선택한다고 가정

 

각 차량의 방향은 독립적으로 결정되므로, 가능한 모든 조합을 고려한 표본공간(sample space)은 다음과 같이 구성된다

 

표본공간 S = {LLL, LLR, LRL, LRR, RLL, RLR, RRL, RRR}

단순사건 (Simple Events)

단순사건이란, 표본공간 내의 단 하나의 결과만 포함하는 사건이.

• E₁ = {LLL}: 세 차량이 모두 좌회전한 경우
• E₅ = {LRR}: 첫 번째 차량은 좌회전, 두 번째·세 번째 차량은 우회전한 경우

복합사건 (Compound Events)

복합사건은 둘 이상의 결과를 포함하는 사건이다.

• A = {RLL, LRL, LLR}

집합 이론과 사건 간의 관계

사건은 결국 집합이기 때문에, 집합 연산을 통해 사건 간 관계를 표현할 수 있다.

• 합집합 A ∪ B: A 또는 B가 일어나는 사건
• 교집합 A ∩ B: A와 B가 동시에 일어나는 사건
• 여집합 A': A가 일어나지 않는 사건

예를 들어 A = {0, 1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

C = {1, 3, 5}

일 때

 

A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

A ∩ B = {3, 4}

A ∩ C = {1, 3}

A' = {5, 6}

{A ∪ C}' = {6}

이다.

서로소 사건 (Disjoint or Mutually Exclusive Events)

두 사건 A와 B가 서로소(disjoint) 또는 상호 배타(mutually exclusive) 라고 할 때, 이는 두 사건이 동시에 발생할 수 없다는 의미이다. 즉, 공통되는 결과가 없다. 

A와 B가 서로소 사건이면,

• A ∩ B = ∅
• 따라서 P(A ∩ B) = 0

벤 다이어그램으로 표현하면 밑과 같다

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